Question

【題目】隨著中美貿易戰的不斷升級，越來越多的國內科技巨頭加大了科技研發投入的力度．中華技術有限公司擬對“麒麟”手機芯片進行科技升級，根據市場調研與模擬，得到科技升級投入x（億元與科技升級直接收益y（億元）的數據統計如下：

序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
y	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

當時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定y與x滿足的線性回歸方程為．

（1）根據下列表格中的數據，比較當時模型①、②的相關指數的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“麒麟”手機芯片科技升級的投入為17億元時的直接收益．

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	182.4	79.2

（附：刻畫回歸效果的相關指數，）

（2）為鼓勵科技創新，當科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方程為預測依據，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實際收益的大小．

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數：，）

（3）科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經實際試驗得X大致服從正態分布．公司對科技升級團隊的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過50%，不予獎勵：若芯片的效率超過50%，但不超過53%，每部芯片獎勵2元；若芯片的效率超過53%，每部芯片獎勵4元記為每部芯片獲得的獎勵，求（精確到0.01）．

（附：若隨機變量，則，）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大．（3）2.27元

【解析】

（1）由表格中的數據，，所以，

轉化，利用相關指數的定義即得解；

（2）當時，由已知可得，可得，可得y與x滿足的線性回歸方程，代入計算即得結論；

（3）由，，所以，即得解.

解：（1）由表格中的數據，，所以，

所以．

可見模型①的相關指數小于模型②的相關指數．

所以回歸模型②的擬合效果更好．

所以當億元時，科技升級直接收益的預測值為

（億元）．

（2）當時，由已知可得．

．

所以．

所以當時，y與x滿足的線性回歸方程為．

當時，科技升級直接收益的預測值為億元．

當億元時，實際收益的預測值為億元億元，

所以技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大．

（3）因為，，所以

；

．

所以（元）．