Question

【題目】解答題
（Ⅰ）討論函數f（x）= ex的單調性，并證明當x＞0時，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）證明：當a∈[0，1）時，函數g（x）= （x＞0）有最小值．設g（x）的最小值為h（a），求函數h（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：（微軟雅黑）證明：f（x）=

f'（x）=ex（ ）=

∵當x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）時，f'（x）＞0

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上單調遞增

∴x＞0時， ＞f（0）=﹣1

即（x﹣2）ex+x+2＞0

（Ⅱ）g'（x）=

= =

a∈[0，1）

由（Ⅰ）知，當x＞0時，f（x）= 的值域為（﹣1，+∞），只有一解使得

，

只需 et≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，

由x＞0，可得

t∈（0，2]

當x∈（0，t）時，g'（x）＜0，g（x）單調減；

當x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調增；

h（a）= = =

記k（t）= ，在t∈（0，2]時，k'（t）= ＞0，

故k（t）單調遞增，

所以h（a）=k（t）∈（ ， ]

【解析】從導數作為切入點探求函數的單調性，通過函數單調性來求得函數的值域，利用復合函數的求導公式進行求導，然后逐步分析即可
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．