Question

設f(x)=px-2lnx,且f(e)=qe-2(e為自然對數的底數).

(1)求p與q的關系;

(2)若f(x)在其定義域內為單調遞增函數,求p的取值范圍;

(3)設g(x)=且p＞0,若在［1,e］上至少存在一點x₀,使得f(x₀)＞g(x₀)成立,求實數p的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由題意得f(e)=pe-2lne=qe-2(p-q)(e+)=0.而e+≠0,∴p=q.

（2）由(1)知f(x)=px-2lnx,f′(x)=p+,要使f(x)在其定義域(0,+∞)內為單調增函數，只需f′(x)在（0,+∞）內滿足f′(x)≥0恒成立,即px²-2x+p≥0(p＞0)對x∈(0,+∞)恒成立,即p≥.令h(x)=(x＞0),則h(x)=≤1.

∴p≥1.

（3）∵g(x)=在［1,e］上是減函數,

∴x=e時,g(x)_min=2,x=1時,g(x)_max=2e,即g(x)∈［2,2e］.

①當0＜p＜1時,由x∈［1,e］x≥0,

∴f(x)=p(x)-2lnx＜x-2lnx.又由(1)得y=x-2lnx在［1,e］上單調遞增,∴f(x)＜x-2lnx≤e-2lne=e-2＜2,不合題意.

②當p≥1時,由(2)知f(x)在［1,e］上單調遞增,又g(x)在［1,e］上是減函數.∴本命題f(x)_max＞g(x)_min=2,x∈［1,e］.

又f(x)_max=f(e)=p(e)-2lne,∴p(e)-2lne＞2p＞.

綜上,p的取值范圍是(,+∞).