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設f(x)=px-2lnx,且f(e)=qe-2(e為自然對數的底數).

(1)求p與q的關系;

(2)若f(x)在其定義域內為單調遞增函數,求p的取值范圍;

(3)設g(x)=且p>0,若在[1,e]上至少存在一點x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求實數p的取值范圍.

解:(1)由題意得f(e)=pe-2lne=qe-2(p-q)(e+)=0.而e+≠0,∴p=q.

(2)由(1)知f(x)=px-2lnx,f′(x)=p+,要使f(x)在其定義域(0,+∞)內為單調增函數,只需f′(x)在(0,+∞)內滿足f′(x)≥0恒成立,即px2-2x+p≥0(p>0)對x∈(0,+∞)恒成立,即p≥.令h(x)=(x>0),則h(x)=≤1.

∴p≥1.

(3)∵g(x)=在[1,e]上是減函數,

∴x=e時,g(x)min=2,x=1時,g(x)max=2e,即g(x)∈[2,2e].

①當0<p<1時,由x∈[1,e]x≥0,

∴f(x)=p(x)-2lnx<x-2lnx.又由(1)得y=x-2lnx在[1,e]上單調遞增,∴f(x)<x-2lnx≤e-2lne=e-2<2,不合題意.

②當p≥1時,由(2)知f(x)在[1,e]上單調遞增,又g(x)在[1,e]上是減函數.∴本命題f(x)max>g(x)min=2,x∈[1,e].

又f(x)max=f(e)=p(e)-2lne,∴p(e)-2lne>2p>.

綜上,p的取值范圍是(,+∞).

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

g(x)=px-
q
x
-2f(x)
,其中f(x)=lnx,且g(e)=qe-
p
e
-2
.(e為自然對數的底數)
(Ⅰ)求p與q的關系;
(Ⅱ)若g(x)在其定義域內為單調函數,求p的取值范圍;
(Ⅲ)證明:
①f(x)≤x-1(x>-1);
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N,n≥2).

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=px-
p
x
-2lnx

(Ⅰ)若p=2,求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數f(x)在其定義域內為增函數,求正實數p的取值范圍;
(Ⅲ)設函數g(x)=
2e
x
,若在[1,e]上至少存在一點x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求實數p的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

g(x)=px-
q
x
-2f(x)
,其中f(x)=lnx,且g(e)=qe-
p
e
-2
.(e為自然對數的底數)
(Ⅰ)求p與q的關系;
(Ⅱ)若g(x)在其定義域內為單調函數,求p的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:河北省期中題 題型:解答題

設f(x)=px--2lnx.  
(1)若f(x)在其定義域內為單調遞增函數,求實數p的取值范圍; 
(2)設,且p>0,若在[1,e]上至少存在一點x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求實數p的取值范圍。

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