Question

【題目】已知非零數列滿足，.

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若關于的不等式有解，求整數的最小值；

（3）在數列中，是否存在首項、第項、第項()，使得這三項依次構成等差數列？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）由條件可得，即，再由等比數列的定義即可得證；
（2）由等比數列的通項公式求得，，再由數列的單調性的判斷，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；
（3）假設存在首項、第項、第項()，使得這三項依次構成等差數列，由等差數列的中項的性質和恒等式的性質，可得，的方程，解方程可得所求值.

解：（1）證明：由，
得，即，
所以數列是首項為2，公比為2的等比數列；
（2）由（1）可得，，則
故，
設，
則

，
所以單調遞增，
則，于是，即 ，
故整數的最小值為；
（3）由上面得，，
設，
要使得成等差數列，即，
即，
得，
，
，
故為偶數，為奇數，
或.