Question

【題目】已知，，，，，，邊上一點，這里異于．由引邊的垂線是垂足，再由引邊的垂線是垂足，又由引邊的垂線是垂足．同樣的操作連續進行，得到點，，．設，如圖所示.

（1）求的值；

（2）某同學對上述已知條件的研究發現如下結論：，問該同學這個結論是否正確并說明理由；

（3）用和表示．

Answer 1

【答案】（1）（2）結論正確，證明見解析；（3），．

【解析】

（1），根據向量數量積公式，求出，即可求解；

（2）只需在中，求出，判斷是否成立即可，在中，由余弦定理求出，根據已知得出，進而求出，即可得到；

（3）由已知可得，，分別通過，，，將用表示，結合，得到遞推關系，進而求出的通項公式.

（1）∵，

∴．

∴．

（2）該同學的結論正確，證明如下：

由（1）及已知，得，，．

由余弦定理知．

又，則．

∴．

即．

（3）由已知．

∵，∴．

∴

．

即，也即．

∴，，

是以為首項，公比為的等比數列，

，

∴，．