Question

【題目】已知點在上,以R為切點的D的切線的斜率為,過外一點A(不在x軸上)作的切線,點BC為切點,作平行于的切線(切點為D),點MN分別是與的交點(如圖).

(1)用BC的縱坐標st表示直線的斜率;

(2)設三角形面積為S,若將由過外一點的兩條切線及第三條切線(平行于兩切線切點的連線)圍成的三角形叫做“切線三角形”,如,再由MN作“切線三角形”,并依這樣的方法不斷作切線三角形…,試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及所圍成的陰影部分的面積T.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)根據題意可知設出直線方程,由切線斜率的定義即可表示出直線的斜率;

(2)求得切線的斜率,可得D的坐標,求得直線的方程,運用中點坐標公式可得A關于D的對稱點在直線上,求得D為的中點,根據為三角形的中位線,且E為的中點,D為的中點,求得三角形的面積,再由三角形的面積之比與對應邊的比的關系,可得由拋物線外作出的“切線三角形”的面積構成以為首項,為公比的等比數列,運用無窮遞縮等比數列的求和公式,可得所有面積和,即可得到所求面積T.

解:(1)設切線方程為,

，將B,C的縱坐標代入得

(2)設,則,

∴,(s,t為B,C的縱坐標),

由此可得

設利用切線方程得:

即,兩式相減得:

,,,

由前面計算可知:平行于橫軸,可得,

,將,代入,

由,

所以D為的中點;

設:,由上可知,

由M,N確定的切線三角形的面積為,

后一個切線三角形的面積是前一切線三角形面積的,

由此繼續下去可得算式:

,

,

∴.