Question

【題目】有一容積為的正方體容器，在棱、和面對角線的中點各有一小孔、、，若此容器可以任意放置，則其可裝水的最大容積是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

分別討論水面過直線、、時從正方體截去的幾何體體積的最小值，即可得出此容器可裝水的最大容積.

當水面過直線時，如下圖所示，

水面截去正方體所得幾何體為三棱柱，

當點在水面上方或水面上時，容器中的水不會漏，且當點與點重合時，截去的幾何體體積最小為；

當水面過直線時，如下圖所示，

水面截去正方體所得幾何體為三棱臺，

當點在水面上方或水面上時，容器中的水不會漏，且當點在直線上時，截去的幾何體為三棱柱，且體積最小為；

當水面過直線時，如下圖所示，

當點在水面上方或水面上時，容器中的水不會漏，此時水面截去正方體所得幾何體為，且直線過點，易知梯形的面積為正方形面積的一半，此時，幾何體的體積為.

當與直線重合時，如下圖所示，

此時，點在水面上方，容器不會漏水，水面截去正方體所得幾何體為三棱錐，

該三棱錐的體積為.

綜上可知，水面截去截去正方體所得幾何體體積的最小值為.

因此，該容器可裝水的最大容積是.

故選：C.