Question

【題目】已知函數，若在區間內有且只有一個實數，使得成立，則稱函數在區間內具有唯一零點.

（1）判斷函數在區間內是否具有唯一零點，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區間內具有唯一零點.

（3）若函數在區間內具有唯一零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是，詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）利用分段函數，分類討論函數的單調性，從而得出結論；

（2）兩個向量的數量積共公式以及三角恒等變換，化簡的解析式，再利用正弦函數的性質得出結論；

（3）利用二次函數的性質，分類討論，求得的范圍．

（1）函數在區間內具有唯一零點，理由如下：

當時，有，且當時，有；

當時，是增函數，有，

故函數在區間內具有唯一零點.

（2）由向量，，，

所以，，

令，，解得，

所以函數在區間內具有唯一零點，使得，

故函數在區間內具有唯一零點.

（3）由函數在區間內具有唯一零點，該二次函數的對稱軸為，

①當，即時，函數在區間是增函數，

只需，即，解得，

所以實數的取值范圍為.

②當，即時，若使函數在區間內具有零點，

則，解得或，

所以，，

i當時，函數在區間內具有唯一零點，即，符合題意，

ii當時，若使函數在區間內具有唯一零點，只需，

即，解得，

所以實數的取值范圍為或.

③當，即時，函數在區間是減函數，

當時，只需，即，解得，

當時，令，解得，

所以函數在區間上具有唯一零點，符合題意，

所以實數的取值范圍為.

綜上所述：實數的取值范圍為.