Question

【題目】已知直線，點，點是平面直角坐標系內的動點，且點到直線的距離是點到點的距離的2倍.記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于、兩點，若（是坐標系原點）的面積為，求直線的方程；

（3）若（2）中過點的直線是傾斜角不為0的任意直線，仍記與曲線的交點為、，設點為線段的中點，直線與直線交于點，求的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線或；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，化簡可得曲線的方程.

（2）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況.當直線的斜率不存在時，求出的面積，易判斷是否成立. 當直線的斜率存在時，設直線，由方程組消元，韋達定理可求弦長，又點到直線的距離，所以的面積，可求值，即可求直線的方程.

（3）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況. 當直線的斜率不存在時，易求的值. 當直線的斜率存在時，設直線.由（2）中的結論可得點的坐標，可寫出直線的方程，求出點的坐標.最后用向量的方法求的值.

（1）根據題意，可知，，

化簡得.

.

（2）因為直線過焦點，故直線與橢圓總交于、兩點.

若直線與軸垂直，可算得，，不滿足條件.

于是，所求直線的斜率存在.

設直線的斜率為，即.

聯立方程組，得（此時恒成立）.

，

點到的距離為.

，

化簡得，即

解得.

所求直線或（或表示為一般式方程）.

（3）若直線的斜率不存在，即垂直軸，

根據橢圓的對稱性，知點與點重合，點，此時，有.

若直線的斜率存在，設.

由（2）可得，

.

直線的傾斜角不為零，.

直線.

.

方法1：算得.又直線方向向量為，

且..

.（多想少算）

綜上，不論直線的斜率存在與否，總有.

方法2：算得，與的交點為，.

可得向量與的夾角滿足，

即，，.

綜上，不論直線的斜率存在與否，總有.