Question

已知：函數．
（1）若f（x）≥0恒成立，求參數t的取值范圍；
（2）證明：．

Answer 1

（1）解：求導函數，可得
①當t＞1時，由f′（x）＜0，可得1＜x＜t，∴f（x）在（1，t）上遞減，∴f（x）≤f（1）=0
∴f（x）≥0不恒成立；
②當-1＜t≤1時，由f′（x）≥0，可得x≥1，∴f（x）在[1，+∞）上遞增，∴f（x）≥f（1）=0
∴f（x）≥0恒成立；
綜上所述，參數t的取值范圍為（-1，1]；
（2）證明：由（1）知，t=1時有f（x）≥0，即
∴當x＞1時，
令x=1+，∴=（k=1，2…，n）
將上述式子相加：
=
∴
∴
分析：（1）求導函數，①當t＞1時，由f′（x）＜0，可得f（x）在（1，t）上遞減，f（x）≥0不恒成立；②當-1＜t≤1時，f（x）在[1，+∞）上遞增，f（x）≥0恒成立，由此可求參數t的取值范圍；
（2）由（1）知，t=1時有f（x）≥0，即，故當x＞1時，，令x=1+，可得=（k=1，2…，n），將上述式子相加，即可證得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，正確放縮是解題的關鍵．