Question

【題目】已知圓心在坐標原點的圓O經過圓與圓的交點，A、B是圓O與y軸的交點，P為直線y=4上的動點，PA、PB與圓O的另一個交點分別為M、N.

(1)求圓O的方程；

(2)求證：直線MN過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）聯立兩圓的方程，求解方程組即可得兩圓的交點坐標為(2,0)和(0,2)，

又所求圓的圓心為坐標原點，則可得圓的方程為，

（2）聯立直線與圓的方程，可得交點坐標分別為，，

再由點斜式求直線方程為，即可得證.

(1)解：由解得：或，

即兩圓的交點坐標為(2,0)和(0,2)，

又因為圓O的圓心為坐標原點，

所以圓O的方程為.

(2)證：不妨設A(0,2)、B(0,-2)、P(t,4)，

則直線PA的直線方程為，直線PB的直線方程為，

由得，同理可得，

直線MN的斜率為，

直線MN的的方程為：，

化簡得：，

所以直線MN過定點(0,1).