Question

【題目】已知函數f（x）=xetx﹣ex+1，其中t∈R，e是自然對數的底數．
（1）若方程f（x）=1無實數根，求實數t的取值范圍；
（2）若函數f（x）在（0，+∞）內為減函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=1，可得x=ex（1﹣t）＞0，

∴原方程無負實數根，

故有 =1﹣t．

令g（x）= ，則g′（x）= ，

∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，

∴函數g（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，

∴函數g（x）的最大值為g（e）= ，

∴函數g（x）的值域為（﹣∞， ]；

方程f（x）=1無實數根，等價于1﹣t（﹣∞， ]，

∴1﹣t＞ ，

∴t＜1﹣ ，

∴當t＜1﹣ 時，方程f（x）=1無實數根；

（2）解：f′（x）=etx[1+tx﹣e（1﹣t）x]

由題設，x＞0，f′（x）≤0，

不妨取x=1，則f′（1）=et（1+t﹣e1﹣t）≤0，

t≥1時，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．

①t≤ ，x＞0時，f′（x）=etx[1+tx﹣e（1﹣t）x]≤ （1+ ﹣ ），

由（1）知，x﹣ex+1＜0，∴1+ ﹣ ＜0，∴f′（x）＜0，

∴函數f（x）是（0，+∞）內的減函數；

② ＜t＜1， ＞1，∴ ln ＞0，

令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，則h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[ ﹣e（1﹣t）x]

0＜x＜ ln ，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0， ln ）上單調遞增，

∴h（x）＞h（0）=0，此時，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0， ln ）上單調遞增，有f（x）＞f（0）=0與題設矛盾，

綜上，當t≤ 時，函數f（x）是（0，+∞）內的減函數

【解析】（1）先確定原方程無負實數根，令g（x）= ，求出函數的值域，方程f（x）=1無實數根，等價于1﹣t（﹣∞， ]，從而求出t的范圍；（2）利用函數f（x）是（0，+∞）內的減函數，確定t＜1，再分類討論，即可求實數t的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．