Question

【題目】已知函數，．

（1）討論函數的單調性；

（2）是否存在，使得對任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.

【解析】分析：第一問先將函數的解析式確定，接著寫出函數的定義域，之后對函數求導，對a進行討論，確定導數的符號，從而求得函數的單調區間，第二問假設存在，之后將其轉化為最值問題，借用導數研究函數的圖像的走向，從而確定函數的最值，最后求得結果.

詳解：（1）由已知得，的定義域為，

則，

①當時，，，，所以，

所以函數在上單調遞減；

②當時，令，得或，

（i）當（），即時，所以（），

所以函數在上單調遞增；

（ii）當，即時，在和上函數，在上函數，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；

（iii）當，即時，在和上函數，在上函數，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）若對任意恒成立，則，

記，只需．

又，

記，則，

所以在上單調遞減．

又，，

所以存在唯一，使得，即，

當時，，，的變化情況如下：

		極大值

所以，

又因為，所以，

所以，

因為，所以，所以，

又，所以，

因為，即，且，故的最小整數值為3，

所以存在最小整數，使得對任意恒成立．