【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點，左右焦點分別為
和
，且橢圓經過點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右頂點
作兩條相互垂直的直線
，
，分別與橢圓交于點
（均異于點），求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】（1）
（2）見證明
【解析】
（1）利用橢圓的定義求得
，根據焦點求得
，結合
求得
，由此得到橢圓的標準方程.（2）當直線
斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出判別式及韋達定理，利用
列出方程，并由此化簡直線方程，得到直線所過定點.當直線斜率不存在時，根據橢圓的對稱性，證得直線過定點.
（1）設橢圓
的標準方程為
，
∴
∴
∴
所以，橢圓的標準方程為.
（2）①直線斜率存在，設直線：
，
，
，聯立方程
消去
得
，
，
，
，
又
，
由
得，
即，
，∴
，
∴
，
∴
.解得：
，
，且均滿足，
當時，直線的方程為
，直線過定點
，與已知矛盾；
當時，直線的方程為
，直線過定點
.
②由橢圓的對稱性所得，當直線
，
的傾斜角分別為
，
，易得直線：
，
：
，直線，分別與橢圓交于點
，
，此時直線斜率不存在，
也過定點
綜上所述，直線恒過定點
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金狀元績優好卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖.
現在上述圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為_________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】兩名老師和五名學生站一排拍照.
（1）五名學生必須排在一起共有多少種排法？
（2）兩名老師不能相鄰共有多少種排法？
（3）兩名老師不能排在兩邊共有多少種排法？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程，曲線的參數方程；
（2）若
分別為曲線，上的動點，求
的最小值，并求取得最小值時，
點的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電商在雙十一搞促銷活動，顧客購滿5件獲得積分30分（不足5件不積分），每多買2件再積20分（不足2件不積分），比如某顧客購買了12件，則可積90分.為了解顧客積分情況，該電商在某天隨機抽取了1000名顧客，統計了當天他們的購物數額，并將樣本數據分為
，
，
，
，
，
，
，
，
九組，整理得到如圖頻率分布直方圖.
（1）求直方圖中
的值；
（2）從當天購物數額在，的顧客中按分層抽樣的方式抽取6人.那么，從這6人中隨機抽取2人，則這2人積分之和不少于240分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是放置在桌面的某三棱柱的三視圖，其中網格小正方形邊長為1.若三棱柱表面上的
、
兩點在三視圖中的對應點為
、
，現一只螞蟻要沿該三棱柱的表面（不包括下底面）從爬到，則所有路徑里最短路徑的長度為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，圓
.
（1）若直線
過點
且到圓心
的距離為
，求直線的方程；
（2）設過點
的直線
與圓交于
、
兩點（的斜率為負），當
時，求以線段
為直徑的圓的方程.
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