Question

【題目】已知函數在時取得極小值．

（1）求實數的值；

（2）是否存在區間，使得在該區間上的值域為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由已知得，根據可得或．然后根據極值定義進行分別驗證：當時， 在上為減函數，在上為增函數，符合題意；當時， 在上為增函數，在上為減函數，不符合題意．（2）由區間定義知，因為，所以．下面根據所在區間位置關系進行討論：結合得 ① 若，則，因為，所以．有唯一解為．② 若，則，即或．根據對應函數單調性知不存在滿足條件的．

試題解析：（1），

由題意知，解得或． 2分

當時， ，

易知在上為減函數，在上為增函數，符合題意；

當時， ，

易知在上為增函數，在上為減函數，不符合題意．

所以，滿足條件的． 5分

（2）因為，所以． 7分

① 若，則，因為，所以． 9分

設，則，

所以在上為增函數．

由于，即方程有唯一解為． 11分

② 若，則，即或．

（Ⅰ）時， ，

由①可知不存在滿足條件的． 13分

（Ⅱ）時， ，兩式相除得．

設，

則，

在遞增，在遞減，由得， ，

此時，矛盾．

綜上所述，滿足條件的值只有一組，且． 16分