Question

【題目】設a>1，函數f(x)＝(1＋x2)ex－a.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點．

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間為(－∞，＋∞)．(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據導函數的正負討論函數的單調性；取導函數大于等于0的區間即增區間，導函數小于等于0的區間為減區間。（2）根據第一問得到函數是增函數，再根據零點存在定理得到函數存在零點，又因為單調故證得零點唯一性。

解析：

(1)解：f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex

＝(x＋1)2ex，x∈R，f′(x)≥0恒成立．

∴f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)．無減區間。

(2)證明　∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，

∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，

∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一個零點，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上遞增，

∴f(x)在(0，a)上僅有一個零點，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點．