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【題目】如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．

（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：證明：連接交于點，

則為的中點．又是的中點，

連接，則．

因為平面，平面，

所以平面．

（2）由，可得：，即

所以

又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系， 則，

設平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，

同理可得平面的一個法向量為，

則

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列,滿足（…）．

（1）若，求的值；

（2）若且，則數列中第幾項最��？請說明理由；

（3）若（n=1,2,3,…），求證：“數列為等差數列”的充分必要條件是“數列為等差數列且（n=1,2,3,…）”．

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【題目】已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相交于，兩點，點滿足，點，若直線斜率為，求面積的最大值及此時直線的方程.

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【題目】設函數為常數) .

(1)當時，求曲線在處的切線方程:

(2)若函數在內存在唯一極值點，求實數的取值范圍，并判斷，是在內的極大值點還是極小值點.

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【題目】已知橢圓： 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線： 與橢圓有且只有一個公共點．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；

（Ⅱ）設是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數，使得，并求的值．

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【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

（ii）當最小時，求點T的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓過點兩個焦點為和.圓O的方程為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過且斜率為的動直線l與橢圓C交于A、B兩點，與圓O交于P、Q兩點（點A、P在x軸上方），當成等差數列時，求弦PQ的長.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】大數據時代對于現代人的數據分析能力要求越來越高，數據擬合是一種把現有數據通過數學方法來代入某條數式的表示方式，比如，，2，，n是平面直角坐標系上的一系列點，用函數來擬合該組數據，盡可能使得函數圖象與點列比較接近．其中一種描述接近程度的指標是函數的擬合誤差，擬合誤差越小越好，定義函數的擬合誤差為：．已知平面直角坐標系上5個點的坐標數據如表：

x

1

3

5

7

9

y

12

4

12

若用一次函數來擬合上述表格中的數據，求該函數的擬合誤差的最小值，并求出此時的函數解析式；

若用二次函數來擬合題干表格中的數據，求；

請比較第問中的和第問中的，用哪一個函數擬合題目中給出的數據更好？請至少寫出三條理由

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，， 平面，，，為的中點．

（1）求證：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）判斷直線與平面的位置關系，請說明理由．

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