Question

【題目】已知橢圓上的一點到其左頂點的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓交于兩點(與點不重合)，若以為直徑的圓經過點,試證明:直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) ,(2)

【解析】

(1)把點代入橢圓方程中,再根據點到其左頂點的距離為可以列出方程,聯立解方程組即可求出橢圓的方程;

(2)由題意可知：以為直徑的圓經過點,這樣有

根據直線是否存在斜率分類討論，當不存在斜率時，通過解方程可以證明直線過定點；當存在斜率時，設出直線方程，與橢圓方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系，把轉化為向量的數量積最后可以確定直線過定點.

(1)易知左頂點的坐標為.

由已知可得，解得,

所以橢圓的方程為.

(2)證明:若以為直徑的圓經過點.則,即,故

當直線的斜率不存在時，設直線的方程為由題意得為等腹直角三角形，設直線與橢圓在軸上方的交點為，則的坐標為.所以有，

解得 (舍去)或，所以此時直線的方程為,

當直線的斜率存在時，設直線方程為.,

聯立： 消去得：

則,

,

由題意，則,

則

,

所以,

化簡得,

所以，解得或,

當時，滿足.此時直線方程為.過定點:

當時，滿足.此時直線方程為.過定點,不合題意.綜上.直線經過定點.