Question

【題目】已知集合（，且），若存在非空集合，使得，且，并任意，都有，則稱集合S具有性質P，稱為集合S的P子集.

（1）當時，試說明集合S具有性質P，并寫出相應的P子集；

（2）若集合S具有性質P，集合T是集合S的一個P子集，設，求證：任意，，都有；

（3）求證：對任意正整數，集合S具有性質P.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

(1)根據新定義,即可求出的P子集;(2)分類討論,根據定義即可證明,(3)利用數學歸納法證明即可.

(1)當時，,

令，

則,且對都有

所以S具有性質P，相應的P子集為，

（2）1.若，由已知，

所以；

2.若，可設

此時

所以且

所以；

3.若，

則

所以

又因為，

所以

所以

所以

綜上所述：任意，，都有

（3）由（1）可知當時，命題成立，即集合S具有性質P

假設時，命題成立

即且

都有

那么當時，記

并構造如下個集合，，

顯然

又因為，

所以

下面證明中任意兩個元素之差不等于中的任意一個元素

1.若兩個元素

則

所以

2.若兩個元素都屬于

由第二問可知，中任意兩個元素之差不等于中的任意元素

從而時命題成立

綜上所述：對任意正整數，集合S具有性質P.