Question

【題目】已知f（x）為二次函數，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，

（1）求f（x）的解析式；

（2）設g（x）=f（2x）﹣m2x+1，其中x∈[0，1]，m為常數且m∈R，求函數g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）

【解析】

（1）因為函數f（x）為二次函數，所以可設函數的解析式為f（x）=ax2+bx+c，且 ，利用條件求系數即可；（2）根據（1）所求的二次函數的解析式可寫出函數g（x）=f（2x）﹣m2x+1的解析式，整理可得，，令t=2x，可構造關于t的二次函數，進而可求其最小值。

解：（1）設f（x）=ax2+bx+c，且 。

因為f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，

所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x

故有，即a=1，b=﹣2，c=﹣1，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；

（2）g（x）=f（2x）﹣m2x+1= ，

設t=2x，t∈[1，2]，

∴g（t）=t2﹣（2m+2）t﹣1=[t﹣（m+1）]2﹣（m2+2m+2），

①當m+1＞2，即m＞1時，g（t）=t2﹣(2m+2) t﹣1在[1，2]減函數，當t=2時，g（t）min=﹣4m﹣1，

②當m+1＜1，即m＜0時，g（t）=t2﹣(2m+2)t﹣1在[1，2]增函數，當t=1時，g（t）min=﹣2m﹣2，

③當0≤m≤1時，當t=m+1時，g（t）min=﹣（m2+2m+2），

綜上所述：g（x）min=．