Question

【題目】若存在常數，使得對任意，，均有，則稱為有界集合，同時稱為集合的上界.

(1)設，，試判斷是否為有界集合，并說明理由；

(2)已知常數，若函數為有界集合，求集合的上界最小值.

(3)已知函數，記，，，，求使得集合為有界集合時的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不是有界集合，B是有界集合，證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1），，結合定義說明它不是有界集合，求出，所以集合是有界集合；（2）先求出時，集合的上界，時，集合的上界，再求集合的上界最小值；（3）先求出，再結合有界集合的定義求解.

（1）由得，即，，

對任意一個，都有一個，故不是有界集合．

，

又在上是增函數，且時，，

，

，是有界集合，上界為1.

（2），

因為，所以函數單調遞減，

，

因為函數為有界集合，

所以分兩種情況討論：

當即時，集合的上界.

當時，不等式為；

當時，不等式為；

當時，不等式為.

即時，集合的上界.

當即時，集合的上界.

同上解不等式得的解為.

即時，集合的上界.

綜上得時，集合的上界，時，集合的上界.

時，集合的上界是一個減函數，所以此時;

時，集合的上界是增函數，所以，

所以集合的上界最小值.

（3），

，

因為為有界集合，存在常數使得，

又

，

恒成立，

，．

當時，，故成立；

當時，所以不成立.

同理時不成立.

故.