Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的極值；

（2）若，其中為自然對數的底數，求證：函數有2個不同的零點；

（3）若對任意的，恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）極小值為；無極大值（2）證明過程見解析；（3）.

【解析】

（1）對函數求導，利用導數判斷出函數的單調性，利用極值定義求出函數的極值；

（2）利用導數可求出函數的單調性和最大值，然后分類討論在不同單調區間上函數存在零點，最后能證明出函數有2個不同的零點；

（3）構造新函數，利用導數，求出的值域，然后能求出實數的最大值.

（1）函數的定義域為，因為，所以，

當時，，所以函數單調遞增；當時，，所以函數單調遞減，因此是函數的極小值，故函數的極值為極小值，值為；無極大值

（2）函數的定義域為，因為所以，

因為，所以當時，，因此函數是遞減函數，當時，，函數是遞增函數，

所以函數的最大值為： ，

因為，所以，因此有，

因為，所以，因此當時，函數有唯一零點；

因為，所以，，故函數在時，必有唯一的零點，因此函數有2個不同的零點；

（3）設，，

，因為，所以函數在時單調遞增，即

當時，即，時，，函數在時單調遞增，因此有，即當時，恒成立；

當時，所以存在，使得，即當時，函數單調遞減，所以此時，顯然對于當時，不恒成立，綜上所述，，所以實數的最大值為.