Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=（﹣x2+ax）ex ， （x∈R，e為自然對數的底數）
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調遞增區間．
（2）函數f（x）是否為R上的單調函數，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=（﹣x2+2x）ex，

∴f′（x）=﹣（x2﹣2）ex

令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，

∴﹣ ＜x＜

∴f（x）的單調遞增區間是（﹣ ， ）

（2）解：∵f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，

記g（x）=﹣x2+（a﹣2）x+a，

∴△=（a﹣2）2+4a=a2+4＞0，

∴x∈R時，g（x）的值有正有負，

而x∈R時，ex＞0恒成立，

于是x∈R時，f′（x）的值有正有負，

故函數f（x）的不是R上的單調函數

【解析】（1）求導函數，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調遞增區間，（2），求導函數，判斷出f′（x）的值有正有負，故函數f（x）的不是R上的單調函數．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．