Question

【題目】設{an}是首項為1，公差為2的等差數列，{bn}是首項為1，公比為q的等比數列．記cn=an+bn ， n=1，2，3，…．
（1）若{cn}是等差數列，求q的值；
（2）求數列{cn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：{an}是首項為1，公差為2的等差數列，

所以 an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

{bn}是首項為1，公比為q的等比數列，

所以bn=qn﹣1．

所以cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．

因為{cn}是等差數列，

所以2c2=c1+c3，

即 2（3+q）=2+5+q2，解得q=1．

經檢驗，q=1時，cn=2n，所以{cn}是等差數列

（2）解：由（1）知cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．（n=1，2，…）

所以數列{cn}的前n項和Sn=（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+q+q2+…qn﹣1），

當q=1時，Sn= n（1+2n﹣1）+n=n2+n；

當q≠1時，Sn=n2+

【解析】（1）分別運用等差數列和等比數列的通項公式，可得an，bn，再由等差數列中項的性質，解方程可得q的值；（2）求出cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．（n=1，2，…），運用數列的求和方法：分組求和，討論公比q為1與不為1，結合等差數列和等比數列的求和公式，計算即可得到所求和．