Question

【題目】某經銷商計劃經營一種商品，經市場調查發現，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克，1＜x≤12）滿足：當1＜x≤4時，y=a（x﹣3）2+ ，（a，b為常數）；當4＜x≤12時，y= ﹣100．已知當銷售價格為2元/千克時，每日可售出該特產800千克；當銷售價格為3元/千克時，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并確定y關于x的函數解析式；
（2）若該商品的銷售成本為1元/千克，試確定銷售價格x的值，使店鋪每日銷售該特產所獲利潤f（x）最大．（ ≈2.65）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：

x=2時y=800，∴a+b=800，

又∵x=3時y=150，∴b=300，可得a=500

∴y=

（2）解：由題意：

f（x）=y（x﹣1）= ，

當1＜x≤4時，

f（x）=500（x﹣3）2（x﹣1）+300=500x3﹣3500x2+7500x﹣4200，

f'（x）=500（3x﹣5）（x﹣3），

∴由f′（x）＞0，得 ＜x＜3，

∴f（x）在（1， ），（3，4）上遞增，在（ ，3）上遞減，

∵f（ ）= +450＜f（4）=1800，

∴當x=4時時有最大值，f（4）=1800

當4＜x≤12時，

f（x）=（ ﹣100）（x﹣1）=2900﹣（100x+ ）≤2900﹣400 ≈1840，

當且僅當100x= ，即x=2 ≈5.3時取等號，

∴x=5.3時有最大值1840，

∵1800＜1840，

∴當x=5.3時f（x）有最大值1840

即當銷售價格為5.3元的值，使店鋪所獲利潤最大

【解析】（1）根據已知條件代入函數解析式得到兩個方程組即可解出未知數的值，得到函數的方程。（2）利用導數求函數的最值，構造了一個不改變函數增減性的函數來化簡計算，在得出函數增減區間后應注意結合定義區間來求解實際問題的最值問題。