Question

已知數列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋1＝a_n－.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝na_n·2ⁿ，求數列{b_n}的前n項和S_n

Answer 1

(1) a_n＝.(2) S_n＝n·2^n＋1. 

試題分析：(1)由已知得a_n＋1－a_n＝－，又a₁＝2，
∴當n≥2時，a_n＝a₁＋(a₂－a₁)＋(a₃－a₂)＋…＋(a_n－a_n－1)＝，
a₁＝2也符合上式，∴對一切n∈N^*，a_n＝.            6分
(2)由(1)知：b_n＝na_n·2ⁿ＝(n＋1)·2ⁿ，
∴S_n＝2×2＋3×2²＋4×2³＋…＋(n＋1)×2ⁿ，①
2S_n＝2×2²＋3×2³＋…＋n×2ⁿ＋(n＋1)×2^n＋1，②
∴①－②得－S_n＝2×2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－(n＋1)×2^n＋1＝2＋－(n＋1)×2^n＋1
＝2＋2^n＋1－2－(n＋1)·2^n＋1＝－n·2^n＋1，∴S_n＝n·2^n＋1.              12分
點評：數列解答題考查的的熱點為求數列的通項公式、等差(比)數列的性質及數列的求和問題.因此在復習中，要特別注意加強對由遞推公式求通項公式、求有規律的非等差(比)數列的前n項和等的專項訓練.