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【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形和四邊形都是正方形，且邊長為，是的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連結交于，根據平行四邊形性質得是中點，再根據三角形中位線性質得，最后根據線面平行判定定理得結論,（2）根據條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組解各面法向量,根據向量數量積求夾角,最后根據二面角與向量夾角相等或互補關系求二面角.

試題解析：（1）∵且，

與交于點，與交于點

∴平面平面，∴幾何體是三棱柱

又平面平面，，∴平面，故幾何體是直三棱柱

（1）四邊形和四邊形都是正方形，所以且，所以四邊形為矩形；于是，連結交于，連結，是中點，又是的中點，故是三角形D的中位線，，注意到在平面外，在平面內，∴直線平面

（2）由于平面 平面，，∴平面，所以.于是，，兩兩垂直.以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，因正方形邊長為，且為中點，所以，，，

于是，，設平面的法向量為

則，解之得，同理可得平面的法向量，∴

記二面角的大小為，依題意知，為銳角，，

即求二面角的大小為

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某水產品經銷商銷售某種鮮魚，售價為每公斤元，成本為每公斤元.銷售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去，未售出的全部降價處理完，平均每公斤損失元.根據以往的銷售情況，按，，，，進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求未來連續三天內，該經銷商有連續兩天該種鮮魚的日銷售量不低于公斤，而另一天日銷售量低于公斤的概率；

（2）在頻率分布直方圖的需求量分組中，以各組區間的中點值代表該組的各個值.

（i）求日需求量的分布列；

（ii）該經銷商計劃每日進貨公斤或公斤，以每日利潤的數學期望值為決策依據，他應該選擇每日進貨公斤還是公斤？

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【題目】在如圖所示的多面體中，底面四邊形是菱形，，，相交于，，在平面上的射影恰好是線段的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】交管部門為宣傳新交規舉辦交通知識問答活動，隨機對該市歲的人群抽樣了人，回答問題統計結果如圖表所示：

分組

回答正確的人數

回答正確的人數占本組的頻率

第組

第組

第組

第組

第組

（1）分別求出，，，的值；

（2）從第，，組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取人，則第，，組每組應各抽取多少人？

（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的人中隨機抽取人頒發幸運獎，求：所抽取的人中至少有一個第組的人的概率.

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【題目】為了解甲、乙兩種產品的質量，從中分別隨機抽取了10件樣品，測量產品中某種元素的含量（單位：毫克），如圖所示是測量數據的莖葉圖.規定：當產品中的此中元素的含量不小于18毫克時，該產品為優等品.

（1）試用樣品數據估計甲、乙兩種產品的優等品率；

（2）若從甲、乙兩種產品的優等品中各隨機抽取1件，抽到的2件優等品中，“甲產品的含量28毫克優等品必須在內，且乙產品的含量28毫克優等品不包含在內”為事件，求事件的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點為，，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，當變化時，求面積的最大值.

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【題目】某二手車交易市場對某型號二手汽車的使用年數與銷售價格（單位：萬元/輛）進行整理，得到如下的對應數據：

使用年數

2

4

6

8

10

售價

16

13

9.5

7

4.5

（1）試求關于的回歸直線方程；（參考公式：，.）

（2）已知每輛該型號汽車的收購價格為萬元，根據（1）中所求的回歸方程，預測為何值時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤最大？

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直角坐標系中動點，參數，在以原點為極點、軸正半軸為極軸所建立的極坐標系中，動點在曲線：上.

（1）求點的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若動點的軌跡和曲線有兩個公共點，求實數的取值范圍.

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【題目】已知拋物線： 的焦點與橢圓： 的一個焦點重合，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于、兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程以及的值；

（Ⅱ）記拋物線的準線與軸交于點，試問是否存在常數，使得且都成立？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

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