Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直角坐標系中動點，參數，在以原點為極點、軸正半軸為極軸所建立的極坐標系中，動點在曲線：上.

（1）求點的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若動點的軌跡和曲線有兩個公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）點的軌跡的方程：，曲線的方程為：， ；（2）.

【解析】試題分析：（1）設點的坐標為，則有，消去參數可得普通方程，由曲線：，得，由，代入可得直角坐標方程；

（2）由數形結合的思想曲線表示過點，斜率為的直線與動點的軌跡，以為圓心，為半徑的圓有兩個公共點即可.

試題解析：

（1）設點的坐標為，則有

消去參數，可得，為點的軌跡的方程；

由曲線：，得，且，

由，故曲線的方程為： ；

（2）曲線的方程為： ，即

表示過點，斜率為的直線，

動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

由軌跡和曲線有兩個公共點，結合圖形可得．

（或圓心到直線的距離小于半徑和去求）.