Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為，過且垂直于線段的直線交直線于點．

（1）證明：三點共線；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）由題意得右焦點的坐標為，設所在直線為：，且，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理得，根據弦的中點為，得點的坐標，從而求出所在直線方程，再根據垂直于線段，可得所在的直線方程，即可求得點的坐標，進而通過點的坐標滿足所在直線方程即可證出三點共線；（2）由（1）及弦長公式可得，再根據兩點之間的距離公式可得，結合二次函數的圖象及性質即可求出的最大值．

試題解析：（1）顯然橢圓的右焦點的坐標為，

設所在直線為：，且．

聯立方程組：，得：；

其中，

點的坐標為所在直線方程為：．

所在的直線方程為：，

聯立方程組：，得點的坐標為，

點的坐標滿足直線的方程，故三點共線；

（2）由（1）得：；

由點的坐標為，，

所以，

顯然，

故當，即時，取得最大值．