Question

已知函數f(x)＝x³－ax－1
(1)若f(x)在實數集R上單調遞增，求a的取值范圍；
(2)是否存在實數a，使f(x)在(－1,1)上單調遞減，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；
(3)證明f(x)＝x³－ax－1的圖象不可能總在直線y＝a的上方．

Answer 1

（1）a≤0（2）a≥3（3）見解析

(1)f′(x)＝3x²－a，由3x²－a≥0在R上恒成立，即a≤3x²在R上恒成立，易知當a≤0時，f(x)＝x³－ax－1在R上是增函數，∴a≤0.
(2)由3x²－a<0在(－1,1)上恒成立，∴a>3x².但當x∈(－1,1)時，0<3x²<3，
∴a≥3，即當a≥3時，f(x)在(－1,1)上單調遞減．
(3)取x＝－1，得f(－1)＝a－2<a，即存在點(－1 ，a－2) 在f(x)＝x³－ax－1的圖象上，且在直線y＝a的下方. ∴f(x)的圖象不可能總在直線y＝a的上方．