Question

【題目】如圖①，在等腰梯形中，，，分別為，的中點，，為中點現將四邊形沿折起,使平面平面，得到如圖②所示的多面體在圖②中，

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由已知可得EF⊥AB，EF⊥CD，折疊后，EF⊥DF，EF⊥CF，利用線面垂直的判定得EF⊥平面DCF，從而得到EF⊥MC；（2）由平面平面，得平面，得，進一步得，，兩兩垂直.以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求平面，平面的法向量，求解即可

（1）由題意，可知在等腰梯形中，，

∵，分別為，的中點，∴，.

∴折疊后，，.

∵，∴平面.

又平面，∴.

（2）∵平面平面，平面平面，且，

∴平面，∴，∴，，兩兩垂直.

以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵，∴.

∴，，，.

∴，，.

設平面，平面的法向量分別為

，.

由，得.

取，則.

由，得.

取，則.

∵，

∴二面角的余弦值為.