Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=k（x+1）與C相切于點A，|AF|=2．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）設直線l交C于M，N兩點，T是MN的中點，若|MN|=8，求點T到y軸距離的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y2=4x（Ⅱ）T到y軸的距離的最小值為3，此時直線的方程為x±y-1=0.

【解析】

（Ⅰ）設A（x0，y0），聯立直線方程和拋物線方程，運用判別式為0，結合拋物線的定義，可得拋物線方程；

（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率不為0，設l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），聯立拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，結合中點坐標公式和基本不等式可得所求直線方程．

（Ⅰ）設A（x0，y0），直線y=k（x+1）代入y2=2px，

可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，

由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，

由|AF|=1+=2，即p=2，

可得拋物線方程為y2=4x；

（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率不為0，設l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯立拋物線方程可得y2-4my-4n=0，

△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，

|AB|==8，

可得n=-m2，

=2m，==2m2+n=+m2

=+m2+1-1≥2-1=3，

當且僅當=m2+1，即m2=1，即m=±1，

T到y軸的距離的最小值為3，

此時n=1，直線的方程為x±y-1=0..