Question

【題目】近幾年，我國在電動汽車領域有了長足的發展，電動汽車的核心技術是動力總成，而動力總成的核心技術是電機和控制器，我國永磁電機的技術已處于國際領先水平．某公司計劃今年年初用196萬元引進一條永磁電機生產線，第一年需要安裝、人工等費用24萬元，從第二年起，包括人工、維修等費用每年所需費用比上一年增加8萬元，該生產線每年年產值保持在100萬元.

（1）引進該生產線幾年后總盈利最大，最大是多少萬元？

（2）引進該生產線幾年后平均盈利最多，最多是多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）引進生產線10年后總盈利最大為204萬元（2）引進生產線7年后平均盈利最多為24萬元

【解析】

（1）設引進設備n年后總盈利為萬元，設除去設備引進費用，第n年的成本為，構成一等差數列，由等差數列前公式求得第年總成本，這樣可得總盈利，由二次函數性質可得最大值；

（2）平均盈利為，可用基本不等式求得最大值．

解：（1）設引進設備n年后總盈利為萬元，設除去設備引進費用，第n年的成本為，構成一等差數列，前n年成本之和為萬元；

故，，

所以當時，萬元；

答：引進生產線10年后總盈利最大為204萬元

（2）設n年后平均盈利為萬元，則，

因為，

當，，當且僅當取得等號，

故時，萬元：

答：引進生產線7年后平均盈利最多為24萬元