Question

【題目】某企業生產一種產品，從流水線上隨機抽取件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優等品，在的為特優品，銷售時劣質品每件虧損元，優等品每件盈利元，特優品每件盈利元，以這件產品的質量指標值位于各區間的頻率代替產品的質量指標值位于該區間的概率．

（1）求每件產品的平均銷售利潤；

（2）該企業主管部門為了解企業年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業近年的年營銷費用和年銷售量，數據做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統計量的值．

表中，，，．

根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程．

①求關于的回歸方程；

②用所求的回歸方程估計該企業每年應投入多少營銷費，才能使得該企業的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，取）

附：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

Answer 1

【答案】（1）元．（2）①②萬元

【解析】

（1）每件產品的銷售利潤為，由已知可得的取值，由頻率分布直方圖可得劣質品、優等品、特優品的概率，從而可得的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；

（2）①對取自然對數，得，

令，，，則，這就是線性回歸方程，由所給公式數據計算出系數，得線性回歸方程，從而可求得；

②求出收益，可設換元后用導數求出最大值．

解：（1）設每件產品的銷售利潤為，則的可能取值為，，．由頻率分布直方圖可得產品為劣質品、優等品、特優品的概率分別為、、．

所以；；．所以的分布列為

所以（元）．

即每件產品的平均銷售利潤為元．

（2）①由，得，

令，，，則，

由表中數據可得，

則，

所以，即，

因為取，所以，故所求的回歸方程為．

②設年收益為萬元，則

令，則，，當時，，

當時，，所以當，即時，有最大值．

即該企業每年應該投入萬元營銷費，能使得該企業的年收益的預報值達到最大，最大收益為萬元．