Question

【題目】已知f（x）= sin2x+sinxcosx﹣ ．
（1）求f（x）的單調增區間；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A為銳角且f（A）= ，b+c=4，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，

= ，

令 ，k∈Z，

可得

即f（x）的遞增區間為 ，k∈Z

（2）解：由 得， ，A為銳角，

∴ ，∴ ，解得 ，

由b+c=4和余弦定理得，

a2=b2+c2﹣2cbcosA=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc，

∵ =4，當且僅當b=c時取等號，

∴a2=16﹣3bc≥16﹣3×4=4，解得a≥2

又a＜b+c=4，

∴a的取值范圍為2≤a＜4

【解析】（1）根據二倍角公式以及變形、兩角差的正弦公式化簡解析式，由整體思想和正弦函數的遞增區間求出f（x）的單調增區間；（2）由（Ⅰ）化簡 ，由A的范圍和特殊角的三角函數值求出A，由條件和余弦定理列出方程，化簡后由基本不等式、三邊關系求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了正弦函數的單調性和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；余弦定理:;;才能正確解答此題．