【題目】已知函數
（1）若不等式
恒成立，則實數
的取值范圍；
（2）在（1）中， 
取最小值時，設函數
.若函數
在區間
上恰有兩個零點，求實數
的取值范圍；
（3）證明不等式： 
（
且
）.
【答案】(1) 
；(2) 
；(3)證明見解析.
【解析】試題分析：（1）原題等價于
恒成立，設
，利用導數判斷得出差
在
上單調遞增，在
上單調遞減， 
，可得結論；（2）由（1）可得關于
的方程
在區間
上恰有兩個實數根，即
，令
，利用二次求導可得當
時， 
單調遞減，當
時， 
單調遞增，計算出端點值和極值，可得實數
的取值范圍；（3）由（1）中的結論，令
，則有
，整理可得
，當
時，利用累加法可得結論成立.
試題解析：(1)由題意知， 
恒成立.變形得： 
.
設
，則
，由
可知， 
在
上單調遞增，在
上單調遞減， 
在
處取得最大值，且
.
所以
，實數
的取值范圍是
.
(2)由(1)可知， 
，當
時， 
，
，
在區間
上恰有兩個零點，即關于
的方程
在區間
上恰有兩個實數根. 整理方程得， 
，令
， 
， 令
， 
，
則
， 
，于是
， 
在
上單調遞增.
因為
，當
時， 
，從而
， 
單調遞減，
當
時， 
，從而
， 
單調遞增，
， 
， 
，
因為
，所以實數
的取值范圍是
.
(3)由(1)可知，當
時，有
，
當且僅當
時取等號.
令
，則有
，其中
.
整理得： 
，
當
時，
， 
， 
， 
，
上面
個式子累加得： 
. 
且
，
即
.命題得證.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，動點
到點
的距離和它到直線
的距離相等，記點
的軌跡為
.
（Ⅰ）求
得方程；
（Ⅱ）設點
在曲線
上， 
軸上一點
（在點
右側）滿足
.平行于
的直線與曲線
相切于點
，試判斷直線
是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，設圓
：＝4 cos 與直線l：＝
(∈R)交于A，B兩點．
（Ⅰ）求以AB為直徑的圓
的極坐標方程；
（Ⅱ）在圓
任取一點
，在圓
上任取一點
，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度x有關, 現收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數據如下表：
溫度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產卵數y/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經計算得： 
， 
， 
， 
，
，線性回歸模型的殘差平方和
，e8.0605≈3167，其中xi, yi分別為觀測數據中的溫度和產卵數，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用線性回歸模型，求y關于x的回歸方程
=
x+
（精確到0.1）；
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為
=0.06e0.2303x，且相關指數R2=0.9522.
( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好.
( ii )用擬合效果好的模型預測溫度為35C時該種藥用昆蟲的產卵數（結果取整數）.
附：一組數據(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線
=
x+
的斜率和截距的最小二乘估計為
=
；相關指數R2=
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們可以用隨機模擬的方法估計
的值，如圖程序框圖表示其基本步驟（函數
是產生隨機數的函數，它能隨機產生
內的任何一個實數）．若輸出的結果為
，則由此可估計的近似值為（ ）
A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151
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