Question

【題目】已知直線與曲線恰有兩個不同的交點，記的所有可能取值構成集合，是橢圓上一動點，點與點關于直線對稱，記的所有可能取值構成集合，若隨機從集合中分別抽出一個元素，則的概率是___．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題由，當x≥0時，顯然k＞0，兩邊平方得

，即

由題意，該方程有兩個不相等的正實數根

即即結合k＞0解得k∈(0，1)，即A＝(0，1)

對于橢圓，由于原點關于y＝x＋1的對稱點為(－1，1)

所以，橢圓關于y＝x＋1的對稱橢圓為，

在改橢圓上，可知y1－1∈[－4，4]

于是∈[－1，1]，即B＝[－1，1]

【方法一】由，分別以為橫坐標和縱坐標，

可知點()構成一個面積為2的矩形

其中滿足的是圖中陰影部分，面積為

所以，滿足的概率是

【方法二】當時，此事件發生的概率為，此時必有

當時，此事件發生的概率為，此時與概率相等，各占，于是此時滿足的概率為.

以上兩事件互斥，且[－1，0]與(0，1]的區間長度相等，故滿足的概率為.