Question

【題目】為了保護環境，2015年合肥市勝利工廠在市政府的大力支持下，進行技術改進：把二氧化碳轉化為某種化工產品，經測算，該處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數關系可近似地表示為：且每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產品．

（1）當時，判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元，該工廠才不虧損？

（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

Answer 1

【答案】（1）該工廠不會獲利，；（2）．

【解析】

試題分析：（1）當時，設該工廠獲利為，當時，，因此，該工廠不會獲利，所以國家至少需要補貼萬元，才能使工廠不虧損；（2）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：再利用導數求出其最值即可．

試題解析：

（1）當時，設該工廠獲利為萬元，則，

所以當時，，因此，該工廠不會獲利，所以國家至少需要補貼700萬元，才能使工廠不虧損．

（2）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：

①當時，，所以，

所以時，，為減函數；

時，，為增函數，

所以當時，取得最小值，即；

②當,,

當且僅當，即時，取得最小值，

∵，∴當處理量為40噸時，每噸的平均處理成本最少．