Question

【題目】已知橢圓，過點作橢圓C的切線l，在第一象限的切點為P，過點P作與直線l傾斜角互補的直線，恰好經過橢圓C的下頂點N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）F為橢圓C的右焦點，過點F且與x軸不垂直的直線交橢圓C于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為，則直線是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點.

【解析】

（1）設出直線l的方程，聯立直線與橢圓方程，利用相切得到根的判別式為0，進而得到切點坐標，再根據兩直線傾斜角之間的關系，得到b的值，從而得橢圓C的方程；（2）設出直線的方程，聯立直線與橢圓方程，設出，，可得，及坐標，寫出直線的方程，化簡，根據方程的特點，即得過定點.

解：（1）由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為，與橢圓方程聯立，得，化簡整理得，（*）

，得，

所以方程（*）可化為，可得切點.

，由已知，

所以，即，得，

所以橢圓C的方程為.

（2）由（1）知，

設直線的方程為，與橢圓方程聯立，得，化簡整理得，

設，，則，.

由，可得，則

的方程為，

即

，

所以當時，，即過定點.

拓展結論：

圓上點處的切線方程為，而若點在圓外，則直線方程的幾何含義是過點所作圓的兩條切線的切點連線的方程；由此類比：橢圓上點處的切線方程為，而若點在橢圓外，則方程的幾何含義是過點所作橢圓的兩條切線的切點連線的方程；拋物線上點處的切線方程為，而若點在拋物線外，則直線方程的幾何含義是過點所作拋物線的兩條切線的切點連線的方程.