Question

【題目】已知數列{an}、{bn}滿足：a1=，an+bn=1，bn+1=.

（1）求a2，a3；

（2）證數列為等差數列，并求數列{an}和{bn}的通項公式；

（3）設Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求實數λ為何值時4λSn＜bn恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，，（3）λ≤1

【解析】

（1）由給出的，循環代入和可求解，；

（2）由得，結合，去掉與得到與的關系式，整理變形后可證得數列是以4為首項，1為公差的等差數列，求出其通項公式后即可求得數列和的通項公式；

（3）首先利用裂項求和求出，代入，通過對分類討論，結合二次函數的最值求使恒成立的實數的值．

（1）解：，，，

，，，

∴；

（2）證明：由，

，

，即，

，

數列是以4為首項，1為公差的等差數列，

，則，

；

（3）解：由，

，

，

要使恒成立，只需恒成立，

設，

當時，恒成立；

當時，由二次函數的性質知不滿足對于任意恒成立；

當時，對稱軸，在，為單調遞減函數，

只需，

，∴時，恒成立，

綜上知：時，恒成立．