【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，過點
且斜率為
的直線和以橢圓的右頂點為圓心，短半軸為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的左、右頂點分為A，B，過右焦點
的直線l交橢圓于P，Q兩點，求四邊形APBQ面積的最大值.
【答案】（1）
，（2）6
【解析】
（1）依題意可得
，即可求出過點
且斜率為
的直線的方程，設以右頂點
為圓心，b為半徑的圓的方程為
，根據直線與圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑得到方程組，解得.
（2）設直線l的方程為
，
，聯立直線與橢圓方程，消去
，列出韋達定理，四邊形APBQ的面積
，又
，得到
，設
，則
即可求出函數的最大值.
解：（1）設橢圓的焦距為
，故由題可知
，則橢圓的左焦點
，
故直線方程為
，
以右頂點為圓心，b為半徑的圓的方程為，
則
，
，
解得
或
（舍去），故
，
橢圓的方程為.
（2）設直線l的方程為，，
聯立
，整理得
，顯然
，
則
，
，
故四邊形APBQ的面積
.
設
，則
，
可設函數
，則
，
函數
在
上單調遞增，
則
，則
，
當且僅當
時等號成立，四邊形APBQ的面積取得最大值為6.
黃岡創優卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：直線關于圓的圓心距單位
圓心到直線的距離與圓的半徑之比.
（1）設圓
，求過點
的直線關于圓
的圓心距單位
的直線方程.
（2）若圓
與
軸相切于點
，且直線
關于圓的圓心距單位
，求此圓的方程.
（3）是否存在點
，使過點的任意兩條互相垂直的直線分別關于相應兩圓
與
的圓心距單位始終相等？若存在，求出相應的點坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“劍橋學派”創始人之一數學家哈代說過：“數學家的造型，同畫家和詩人一樣，也應當是美麗的”；古希臘數學家畢達哥拉斯創造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美；我國古代數學家趙爽創造了優美“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為
，則
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為：
，經過點
，傾斜角為
的直線l與曲線C交于A，B兩點
（I）求曲線C的直角坐標方程和直線l的參數方程；
（Ⅱ）求
的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等比數列
的前n項和為
，且當
時，是
與2m的等差中項
為實數
.
（1）求m的值及數列的通項公式；
（2）令
，是否存在正整數k，使得
對任意正整數n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}、{bn}滿足：a1=
，an+bn=1，bn+1=
.
（1）求a2，a3；
（2）證數列
為等差數列，并求數列{an}和{bn}的通項公式；
（3）設Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求實數λ為何值時4λSn＜bn恒成立.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
，且
過點
，曲線
的參數方程為
(
為參數).
(Ⅰ)求曲線
上的點到直線
的距離的最大值；
(Ⅱ)過點
與直線
平行的直線
與曲線 
交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x），g（x）滿足關系g（x）=f（x）f（x+α），其中α是常數．
（1）設f（x）=cosx+sinx，
，求g（x）的解析式；
（2）設計一個函數f（x）及一個α的值，使得
；
（3）當f（x）=|sinx|+cosx，時，存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．
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