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【題目】已知等比數列的前n項和為，且當時，是與2m的等差中項為實數.

（1）求m的值及數列的通項公式；

（2）令，是否存在正整數k，使得對任意正整數n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由.

【答案】（1），；（2）存在，4.

【解析】

（1）根據等差中項的性質列方程，求得的表達式.利用，結合是等比數列，求得的值及數列的通項公式.

（2）由（1）求得的表達式，將不等式左邊看成，利用差比較法判斷出的單調性，由此求得的最小值，進而求得的最大值.

1是與2m的等差中項， ，即，

當時，，

當時，，是等比數列，，則，

，且數列的通項公式為.

2存在正整數k，使不等式恒成立，k的最大值為4.

，

數列單調遞增，，

由不等式恒成立得：，.

故存在正整數k，使不等式恒成立，k的最大值為4.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）直線與軸的交點為，經過點的直線與曲線交于兩點，若，求直線的傾斜角.

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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線與圓相切，與橢圓相交于兩點，求證：是定值.

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【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點為A，且橢圓E經過與坐標軸不垂直的直線l與橢圓E交于C，D兩點，且直線AC和直線AD的斜率之積為.

（I）求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）求證：直線l過定點.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且斜率為 的直線和以橢圓的右頂點為圓心，短半軸為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）橢圓的左、右頂點分為A，B，過右焦點的直線l交橢圓于P，Q兩點，求四邊形APBQ面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】日照一中為了落實“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形AMPN健身場地．如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；

（2）若在矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪．已知：矩形AMPN健身場地每平方米的造價為，草坪的每平方米的造價為（k為正常數）．設總造價T關于S的函數為T=f（S），試問：如何選取|AM|的長，才能使總造價T最低．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，為橢圓上一動點（異于左右頂點），面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于點兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于函數，若存在正常數，使得對任意的，都有成立，我們稱函數為“同比不減函數”．

（1）求證：對任意正常數，都不是“同比不減函數”；

（2）若函數是“同比不減函數”，求的取值范圍；

（3）是否存在正常數，使得函數為“同比不減函數”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上兩個不同的點、關于直線對稱．

（1）若已知，為橢圓上動點，證明：；

（2）求實數的取值范圍；

（3）求面積的最大值（為坐標原點）．

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