Question

【題目】已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點.

（1）若過點，拋物線在點處的切線與在點處的切線交于點.證明：點在定直線上.

（2）若，點在曲線上，的中點均在拋物線上，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 設，,設直線的方程為，與拋物線方程聯立可得，求出拋物線在點處的切線方程，和在點處的切線方程，聯立可得答案.
(2) 設，的中點分別為，,可得，，軸，，

，的面積，從而可求出三角形的面積的范圍.

（1）證明：易知，設，.

由題意可知直線的斜率存在，故設其方程為.

由，得，所以.

由，得，，則，

直線的方程為，即，①

同理可得直線的方程為，②

聯立①②，可得.

因為，所以，故點在定直線上.

（2）解：設，的中點分別為，.

因為得中點均在拋物線上，所以為方程的解，

即方程的兩個不同的實根，

則，，，

即，

所以的中點的橫坐標為，則軸.

則

，

，

所以的面積.

由，得，

所以，

因為，所以，

所以面積的取值范圍為.