Question

【題目】已知曲線（為參數），曲線，將的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的得到曲線.

（1）求曲線的普通方程，曲線的直角坐標方程；

（2）若點為曲線上的任意一點，為曲線上的任意一點，求線段的最小值，并求此時的的坐標；

（3）過（2）中求出的點做一直線，交曲線于兩點，求面積的最大值（為直角坐標系的坐標原點），并求出此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）曲線：，曲線：；（2）最小值為，此時；（3）最大值為，此時.

【解析】

（1）通過變換求出曲線的參數方程然后化為普通方程，利用極坐標與直角坐標的關系，求解曲線的直角坐標方程；（2）由題意線段的最小值，轉為圓的圓心到直線的距離減去半徑，利用直線的垂直關系，即可求此時的P的坐標．（3）寫出三角形的面積公式即可得到最大值，并得到圓心O到直線l的距離，設出直線l的方程，利用圓心到直線的距離公式進行計算即可得到答案.

（1）曲線（為參數），將的橫坐標伸長為原來的2倍，

縱坐標縮短為原來的得到曲線，化為普通方程為，

曲線，即，

可得直角坐標方程為.

(2)設，則線段的最小值為點P到直線的距離．

轉為圓心到直線的距離減去半徑，，

直線的斜率為-1，所以直線PQ的斜率為1，直線PQ方程為y=x,

聯立解得Q(1,1).

(3)由題意可得，

當，即時取到面積的最大值，

此時可知圓心O到直線l的距離為，

由題意可得直線l的斜率肯定存在并設為k,

則直線l的方程為y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,

圓心到直線l的距離,解得,

所以直線l的方程為：