Question

【題目】已知二次函數的值域為.

（1）判斷此函數的奇偶性，并說明理由；

（2）判斷此函數在的單調性，并用單調性的定義證明你的結論；

（3）求出在上的最小值，并求的值域.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）根據題意，由二次函數的性質求出f（x）的對稱軸，結合函數奇偶性的定義分析可得結論；

（2）根據題意，由二次函數的性質分析可得a＞0，設x1＜x2，由作差法分析可得結論；

（3）根據題意，分析可得ac＝4，按對稱軸x對a分情況討論，由二次函數的性質分析可得答案．

解：（1）由題意知，二次函數f（x）＝ax2﹣4x+c，其對稱軸為x，

則f（x）的圖象不關于y軸對稱，也不關于點（0，0）對稱，

故f（x）是非奇非偶函數；

（2）函數在[，+∞）上為增函數，

證明：二次函數f（x）＝ax2﹣4x+c的值域為[0，+∞），則有a＞0，

設x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝（ax12﹣4x1+c）﹣（ax22﹣4x2+c）＝a（x12﹣x22）﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）a﹣4]，

又由x1＜x2，則（x1﹣x2）＜0，（x1+x2）a﹣4＞0，

則f（x1）﹣f（x2）＜0，

即函數f（x）在[，+∞）上為增函數；

（3）二次函數f（x）＝ax2﹣4x+c的值域為[0，+∞），

則有a＞0且16﹣4ac＝0，變形可得ac＝4，

f（x）＝ax2﹣4x+c，其對稱軸為x，

又a＞0，分2種情況討論：

①，1時，即a＞2時，f（x）在[1，+∞）上遞增，

此時g（a）＝f（1）＝a+c﹣4＝a4；

②，1時，即0＜a＜2時，此時g（a）＝f（）＝0，

則g（a）；

當0＜a≤2時，g（a）＝0，當a＞2時，g（a）＝a4≥24＝0，

綜合可得：y＝g（a）的值域為[0，+∞）．