Question

【題目】已知函數，圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為；_______________；

（Ⅰ）在①的一條對稱軸；②的一個對稱中心；③的圖象經過點這三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中，然后確定函數的解析式；

（Ⅱ）若動直線與和的圖象分別交于、兩點，求線段長度的最大值及此時的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）選①或②或③，；（Ⅱ）當或時，線段的長取到最大值.

【解析】

（Ⅰ）先根據題中信息求出函數的最小正周期，進而得出.

選①，根據題意得出，結合的取值范圍可求出的值，進而得出函數的解析式；

選②，根據題意得出，結合的取值范圍可求出的值，進而得出函數的解析式；

選③，根據題意得出，結合的取值范圍可求出的值，進而得出函數的解析式；

（Ⅱ）令，利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式，利用正弦型函數的基本性質求出在上的最大值和最小值，由此可求得線段長度的最大值及此時的值.

（Ⅰ）由于函數圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，則該函數的最小正周期為，，此時.

若選①，則函數的一條對稱軸，則，

得，，當時，，

此時，；

若選②，則函數的一個對稱中心，則，

得，，當時，，

此時，；

若選③，則函數的圖象過點，則，

得，，，

，解得，此時，.

綜上所述，；

（Ⅱ）令，，

，，當或時，即當或時，

線段的長取到最大值.