Question

【題目】已知點P在直線l:y=x-1上,若存在過點P的直線交拋物線于A,B兩點,且|PA|=|AB|,則稱點P為“正點”,那么下列結論中正確的是( )

A.直線l上的所有點都是“正點”

B.直線l上僅有有限個點是“正點”

C.直線l上的所有點都不是“正點”

D.直線l上有無窮多個點(但不是所有的點)是“正點”

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據題意，設出A，P的坐標，進而B的坐標可表示出，把A，B的坐標代入拋物線方程聯立消去y，求得判別式大于0恒成立，可推斷出方程有解，進而可推斷出直線l上的所有點都符合.

如下圖：

根據題意，設A(m,n),P(x0,x0-1), 已知|PA|=|AB| ，則B(2m-x0,2n-x0+1),

∵點A,B在y=x2上,∴.

∴消去n,整理得關于x0的方程為

∵△=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+5>0恒成立,即方程恒有實數解,故選A.