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【題目】已知函數.

（1）若函數在定義域內不單調，求實數的取值范圍；

（2）若函數在區間內單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若且，求證： .

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)對函數求導有，則原問題等價于方程有大于零的實根，結合二次方程根的分布理論可得；

(2)原問題等價于在區間內恒成立，結合均值不等式的結論可得；

(3)當時，不等式顯然成立，當，等價轉化后結合（2）的結論即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）的定義域為

因為在定義域內不單調，所以方程有大于零的實根，

函數的圖像經過點，

，

（2）函數在區間內單調遞增，

在區間內恒成立，即在區間內恒成立

在時取得最小值，

（3）當時，不等式顯然成立，

當，只需證明，令，則只需證明成立，由（2）可知在上是增函數，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，是常數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程，并證明對任意，切線經過定點；

（Ⅱ）證明：時，有兩個零點、，且．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數在與時都取得極值.（1）求的值；（2）若對， 恒成立，求的取值范圍

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設點.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖：

記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數,y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）, 表示購機的同時購買的易損零件數.

（Ⅰ）若=19,求y與x的函數解析式；

（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數不大于”的頻率不小于0.5,求的最小值；

（Ⅲ）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,以此作為決策依據,購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex(a>0)的導函數y＝f′(x)的兩個零點為－3和0.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)的極小值為－1，求f(x)的極大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.

(1)當n∈N*時，求f(n)的表達式；

(2)設an＝n·f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)設bn＝(9－n) ，n∈N*，Sn為{bn}的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）求的最小值；

（2）求證：x＞0時， ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本題分）

已知函數，若存在，使得，則稱是函數的一個不動點，設二次函數．

（Ⅰ）當， 時，求函數的不動點．

（Ⅱ）若對于任意實數，函數恒有兩個不同的不動點，求實數的取值范圍．

（Ⅲ）在（）的條件下，若函數的圖象上， 兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線是線段的垂直平分線，求實數的取值范圍．

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