Question

【題目】（本題分）

已知函數，若存在，使得，則稱是函數的一個不動點，設二次函數．

（Ⅰ）當， 時，求函數的不動點．

（Ⅱ）若對于任意實數，函數恒有兩個不同的不動點，求實數的取值范圍．

（Ⅲ）在（）的條件下，若函數的圖象上， 兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線是線段的垂直平分線，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）實數的取值范圍是．

【解析】試題分析：Ⅰ）把， 代入方程f（x）=x，解出x即可；

（Ⅱ）方程f（x）=x恒有兩個不相等的實數根，即方程ax2+（b+1）x+b﹣2=x恒有兩個不相等的實數根，則 對任意b恒成立，根據二次函數的性質可得a的不等式；

（Ⅲ）設函數f（x）的兩個不同的不動點為x1，x2，則A（x1，x1），B（x2，x2），且x1，x2是ax2+bx+b﹣2=0的兩個不等實根，則，由題意可得k=﹣1，且AB中點在直線上，代入可得a，b的關系式，分離出b后根據a的范圍可得b的范圍；

試題解析：

（Ⅰ）當， 時， ，

由得，解得或．

∴函數的不動點為， ．

（Ⅱ）∵對于任意實數，函數恒有兩個不同的不動點，

∴對于任意實數，方程恒有兩個不相等的實數根，

即方程恒有兩個不相等的實數根，

∴，即對任意實數， 恒成立，

∴，

解得．

（Ⅲ）設函數的兩個不同的不動點為， ，

則， ，且， 是的兩個不等實根，

所以，直線的斜率為，線段中點坐標為，

∵直線是線段的垂直平分線，

∴，且在直線上，

即， ，

∴，當且僅當時等號成立．

又∵，

∴實數的取值范圍是．