Question

【題目】已知函數f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex(a>0)的導函數y＝f′(x)的兩個零點為－3和0.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)的極小值為－1，求f(x)的極大值．

Answer 1

【答案】（1）增區間；（2）

【解析】試題分析：（1）求出導函數f′(x) ＝[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]ex，由題意知ax2＋(2a＋b)x＋b＋c=0,的根為－3和0.結合二次函數的圖象與性質可得f(x)的單調區間；（2）由f(x)的極小值為－1確定參數值，通過研究函數的單調性求出極大值.

試題解析：

(1)f′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]ex.2分

令g(x)＝ax2＋(2a＋b)x＋b＋c，

∵ex>0，∴y＝f′(x)的零點就是g(x)＝ax2＋(2a＋b)x＋b＋c的零點，

且f′(x)與g(x)符號相同．

又∵a>0，∴當x<－3，或x>0時，g(x)>0，即f′(x)>0，

當－3<x<0時，g(x)<0，即f′(x)<0.

∴f(x)的單調增區間是(－∞，－3)，(0，＋∞)，單調減區間是(－3,0)

(2)由(1)知，x＝0是f(x)的極小值點，所以有

解得a＝1，b＝1，c＝－1，所以函數的解析式為f(x)＝(x2＋x－1)ex.

又由(1)知，f(x)的單調增區間是(－∞，－3)，(0，＋∞)，單調減區間是(－3,0)．

所以，函數f(x)的極大值為f(－3)＝(9－3－1)e－3＝.